中学数学では空間図形を学びます。平面ではなく、立体的な図形の面積や体積を理解するのです。そうした分野の一つが柱体の表面積です。

柱体(角柱・円柱)の表面積はどのようにして計算すればいいのでしょうか。柱体の表面積を計算するにしても、形によって表面積の計算方法は異なります。ただ、基本的な考え方は同じです。事実、表面積の出し方の公式は一つです。

ただ考え方は同じであったとしても、角柱と円柱では、別のやり方によって表面積を計算しなければいけません。

どのようにして、柱体の表面積を出せばいいのでしょうか。ここでは、空間図形で重要な表面積の計算方法を解説していきます。

空間図形の柱体には2つの種類がある

柱体には、主に角柱と円柱の2種類があります。柱体の表面積の求め方を理解する前に、角柱と円柱にはどのような種類があるのか理解しなければいけません。

角柱では、さまざまな立体図形があります。三角形の形をしている場合、三角柱になります。また四角形の形であれば、四角柱と呼ばれます。一方で円形の柱であれば、円柱と呼ばれます。それぞれ、以下のような形をしています。

もちろん、角柱には五角柱や六角柱もあります。ただ数学では、三角柱や四角柱が計算問題として主に利用されます。

いずれにせよ、柱体の表面積を求めるにしてもこのように角柱と円柱の2種類があることを理解しましょう。

底面積と側面積を足すと表面積になる

それでは、どのようにして柱体の表面積を出せばいいのでしょうか。この方法としては、底面積と側面積を計算するようにしましょう。角柱や円柱の表面積を出すには、上下2つの底面積と側面積を計算した後、数字を足すのです。

そのため、柱体の表面積の公式は以下のようになります。

  • 柱体の表面積 = 底面積 × 2 + 側面積

公式とはいっても、一つの計算式だけで表面積を出せるわけではありません。それぞれの部分に分けて計算する必要があります。

なお角柱と円柱について、底面と側面がどこになるかというと、以下になります。

上下にある面がそれぞれ底面です。この面積がそれぞれ底面積です。一方で横にある面が側面です。側面を合計することで、側面積を出すことができます。その後、2つの底面積と側面積を足すことで柱体の表面積を計算できます。

展開図全体の面積が表面積

それでは、どのように考えて底面と側面の面積を出せばいいのでしょうか。この方法としては、展開図を利用します。はさみを利用して立体を分解した後、平面になるように広げた図を展開図といいます。立体図形を平面図形に直すのです。

例えば、以下は四角柱を展開図に直したときの様子です。

空間図形の計算では、立体の図を提示されます。そこで展開図を利用し、仮に平面に直したときの図を想像し、表面積を計算するようにしましょう。

ただ、角柱と円柱で表面積の計算方法が異なります。そこで、2つのパターンに分けてそれぞれ解説していきます。

角柱の表面積の計算方法と展開図

角柱の展開図にはどのような特徴があるのでしょうか。例として、三角柱の展開図を考えてみましょう。以下は三角柱を平面に直したときの展開図です。

角柱の展開図では、側面は必ず長方形(または正方形)になります。長方形の横の長さは、角柱の周りの長さと等しいです。三角柱でも四角柱でも、展開図の側面は長方形になるため、長方形の横の長さは、角柱の周りの長さを足すことで計算できます。

また三角柱の高さは、長方形のたての長さと同じです。そのため、側面の面積は以下の式によって計算できます。

  • 側面の面積 = 角柱の周りの長さ × 角柱の高さ

次に、底面積を出します。底面の形は、どのような角柱なのかによって変わります。三角柱であれば、底面は三角形です。四角柱であれば、底面は四角形です。そこで、それぞれの底面積を計算するようにしましょう。

円柱の展開図から表面積を出す

それに対して、円柱の表面積はどのように計算すればいいのでしょうか。角柱と同じように、円柱の展開図を考えてみましょう。円柱の展開図は以下のようになります。

円柱の高さは、展開図でいう長方形のたての長さと同じです。つまり長方形のたての長さについては、角柱と考え方は同じです。

一方で長方形の横の長さはどのようになるのでしょうか。円柱の場合、長方形の横の長さは底面の円周の長さと同じです。そのため円周の長さを計算すれば、長方形の横の長さを出すことができます。

その後、底面積(円の面積)を出しましょう。円の面積は公式を利用することで計算することができます。

なお中学数学では、円周率を$π$として計算します。一方で小学生の算数では、円周率を3.14で計算します。どちらも正解なので、円柱の表面積は中学数学でも小学生の算数でも計算できます。ただ3.14の計算は面倒なので、円周率を$π$とするほうが計算ミスは少ないです。

練習問題:角柱とドーナツ型(空洞のある円柱)の表面積

Q1. 次の柱体の表面積を計算しましょう。なお、円周率は$π$とします。

A1. 解答

(a)

まずは側面積を計算しましょう。三角柱の周囲の長さは$3+4+5=12$cmです。また、たての長さは8cmです。そのため、側面積は以下になります。

  • $12×8=96$

次に底面積を計算します。底面の三角形は直角三角形です。そのため横4cm、たて3cmの三角形だと分かります。三角形の面積を出す公式に当てはめると、底面の面積は以下のようになります。

  • $4×3×\displaystyle\frac{1}{2}=6$

最後に、それぞれの面積を足します。注意点として、底面積は2つあるので2倍しなければいけません。

  • $96+6×2=108$

そのため、表面積は108cm2です。

(b)

最初に側面積を計算しましょう。長方形の横の長さは、底面の円周と同じです。そこで、円周の長さを出す公式を利用しましょう。円周の長さは円の直径(8cm)と円周率($π$)の掛け算によって出すことができます。つまり、円周の長さは$8π$です。

また、側面のたての長さは9cmです。そのため、側面積は以下のようになります。

  • $8π×9=72π$

次に底面積を出しましょう。円の面積を出す公式に当てはめると、以下の計算になります。

  • $4×4×π=16π$

最後に、側面積と上下の底面積を足します。以下のようになります。

  • $72π+16π×2=108π$

そのため、円柱の表面積は$108π$cm2です。


Q2. 次の円柱の表面積を計算しましょう。なお、円周率は$π$とします。

A2. 解答

表面積を計算する応用問題の一つがドーナツ型の円柱です。円柱の外側面積の計算をするだけでなく、空洞になっている部分の表面積を考慮しなければいけません。

ドーナツ型の円柱では、3つの面積を計算します。まず、円柱の外側の側面積を求めましょう。外側の側面積は、これまで説明した方法で計算することができます。大きい円の直径は12cmです。円周の長さは$12π$なので、側面積は以下になります。

  • $12π×9=108π$

同じように、内側の側面積を求めましょう。展開図を考えるとき、長方形の横の長さは円周と同じです。そのため小さいほうの円周を計算すれば、内側の側面積を出すことができます。

実際は空洞であるものの、仮に空洞に円柱があると仮定したとき、この円柱を展開すると以下のようになります。

そこで、この円柱の側面積を計算しましょう。以下のようになります。

  • $4π×9=36π$

次に、底面積を計算します。注意点として、底面は以下のように空洞になっています。

そこで、大きい円から小さい円を引きましょう。円の面積の公式に当てはめると、大きい円の面積は$6×6×π=36π$です。また、小さい円の面積は$2×2×π=4π$です。そのため、底面積は以下になります。

  • $36π-4π=32π$

最後に、上下2つの底面積と側面積を足します。

  • $108π+36π+32π×2=208π$

そのため、ドーナツ型の円柱の表面積は$208π$cm2です。

柱体(角柱・円柱)の表面積を計算する

空間図形を学ぶとき、角柱と円柱の表面積を習います。角柱・円柱の表面積を出す公式としては、底面積と側面積を別々に計算し、足し算することで面積を出せます。そこで角柱や円柱の表面積を出すとき、それぞれの面積を求めましょう。

角柱の側面積を出すとき、横の長さは角柱の周囲の長さと同じです。その後、上下2つの底面積を足します。円柱であれば、円周の長さが長方形の横の長さに該当します。この考え方を利用して、柱体の表面積を計算します。

なお応用問題として、ドーナツ型の円柱(空洞のある円柱)の問題が出されます。内容は複雑になりますが、考え方は同じです。それぞれの面積を計算した後、足すようにしましょう。

これらが角柱・円柱の表面積を計算する方法です。小学生でも中学生でも、数学では表面積の計算方法を問われることがあります。そこで、どのように角柱・円柱の表面積を計算すればいいのか理解しましょう。