中学数学で比例や反比例の定義と概念を学んだあと、次に勉強するのが一次関数です。比例のグラフと似ており、$x$の値が増えるに従って$y$の値が一定割合で増えるのが一次関数です。

一次関数では、傾きと切片という考え方があります。どのような傾きになっており、切片となっているのかによってグラフの形が変わります。また一次関数ではグラフを書いたり、グラフから一次関数の式を作ったりしなければいけません。

交点を求める問題も多く、その場合は連立方程式を利用することで交点を出すことができます。

比例の概念とほぼ同じなのが一次関数です。そのため日常生活で一次関数の計算を使うことが頻繁にあります。そこで、どのように一次関数の問題を解けばいいのか解説していきます。

特殊な比例が一次関数

比例の関係になっていることは多いです。そのため、日常生活では比例を頻繁に利用します。また、同じく日常生活で欠かせない概念が一次関数です。比例と一次関数は非常に似ており、すべての人が日常生活で一次関数を使いながら生活しています。

例えば、日々の生活費を考えるときに一次関数を使います。いまの貯金額から考えて、毎日いくらの金額までなら支出できるのか考えるのは一次関数の計算です。

比例の式は$y=ax$です。例えばお小遣いを毎月2000円もらえる場合、お金をまったく使わないとすると、$x$ヶ月後に貯まる貯金額は以下の式で表されます。

  • $y=2000x$

貯金ゼロからお金を貯める場合、このような式による一次方程式となります。一方で、既にいくらかの貯金がある場合、貯金額を考慮しなければいけません。

例えば、既に貯金額5000円ある場合、$x$ヶ月後の貯金額の総額は以下のようになります。

  • $y=2000x+5000$

実生活では、ゼロから始まるわけではなく、特定のポイントからスタートすることが非常に多いです。一次関数では、これを考慮した式を作ります。

一次関数というのは、比例の特殊なケースと考えましょう。ゼロからのスタートではなく、特定のポイントからスタートする比例が一次関数です。

一次関数には傾きと切片があり、$y=ax+b$の式になる

比例の公式は$y=ax$です。一方で一次関数の公式は$y=ax+b$となります。特定のポイントからスタートするため、比例の公式に対して$+b$を加えます。

$b$は$x=0$のときの値です。先ほどの例であれば、既に5000円の貯金がありました。そのため、$b=5000$となります。

一次関数では、$y=ax+b$の$a$を傾きといいます。また、$b$を切片といいます。一次関数の問題では、傾きと切片の数字を聞いてくることが頻繁にあるため、この言葉を覚えるようにしましょう。

例えば$y=-2x-5$の式があるとします。この場合、傾きは-2です。また、切片は-5です。比例とほぼ同じ式なので概念は難しくないです。ただ、言葉を確実に覚えましょう。

・問題によっては変域がある

なお、中学数学は日常生活で応用するために勉強します。そのため数学の問題によっては、変域があります。

例えば、家庭用のプールに水を貯めたいと考えます。ただ、プールに入る水の量は決まっています。プールへ無限に水を入れられるわけではありません。

そのため、$x$の範囲が決められていることがあります。これを変域といいます。また$x$の変域があるため、$y$の範囲も決められます。

一次関数のグラフの書き方

なお一次関数を学ぶとき、必ず同時にグラフの書き方を理解しなければいけません。一次関数では、どのようにグラフを書けばいいのでしょうか。

一次関数には性質があります。それは、$y=ax+b$のグラフは必ず$(0,b)$の座標を通ることです。例えば、$x=0$を代入してみましょう。以下のようになります。

$y=a×0+b$

$y=b$

このように$x=0$のとき、$y=b$です。$(0,b)$の座標を通ることから、$y$軸と交わる座標は必ず$b$です。

そこで一次関数のグラフを書くとき、最初に切片に着目しましょう。例えば$y=-2x+3$のグラフでは、$(0,3)$の座標を通るグラフになります。

次に、$x$にあたなの好きな数を入れて、$y$座標を求めましょう。例えば$y=-2x+3$のグラフでは、$x=1$のとき、$y=1$です。つまり、$(1,1)$の座標を通ります。その後、$(0,3)$と$(1,1)$の2つの点を直線で結びます。

$y=-2x+3$のグラフとは、$(0,3)$と$(1,1)$の2点を通る直線です。なお$x$に代入する数は何でもいいです。1や2、3など自由に数字を代入し、座標を出しましょう。計算ミスしにくい数字を代入するのが好ましいです。

なお一次関数は比例の直線グラフです。必ず直線のグラフになるため、2つの座標を結べば一次関数のグラフを書くことができます。グラフの書き方をまとめると、以下のようになります。

  1. 切片である$(0,b)$を探す
  2. $x$に数を代入し、任意の座標を出す
  3. 2つの座標を直線でつなぐ

この順番によって、グラフに一次関数の直線を書けるようになります。

・傾きが大きいと急になる

$y$座標がどれだけ増え、どれだけ減るのかは、傾きによって大きく変わります。傾き$a$の値が大きければ、当然ながらグラフは急になります。また傾き$a$の値が小さい場合、グラフの傾きはゆるやかになります。

また傾きが正の数だと、グラフは右上がりの直線になります。一方で傾きが負の数だと、グラフは右下がりの直線になります。

一次関数のグラフでは、この性質を理解するようにしましょう。

変化の割合:分数を含むグラフの書き方

なお一次関数では、変化の割合について聞かれることがあります。変化の割合とは何でしょうか。変化の割合とは、一次関数の傾きだと理解しましょう。変化の割合と傾きは同じ意味です。そのため一次関数の問題で変化の割合について問われたら、傾きを答えるようにしましょう。

$x$の数が増えるに従って、どれだけ$y$の値が変化したのか記すのが変化の割合です。例えば、$y=2x+3$の一次関数について、$x$が0から2に増えるとき、$y$は3から7に増えます。$x$が2増えると$y$は4増えるため、変化の割合(傾き)は2です。

$x$と$y$の数の変化量から、傾きを出すことができます。そのため一次関数の傾きが分かっていなかったとしても、表やグラフから傾き(変化の割合)を計算できます。

変化の割合は以下の式で出すことができます。

公式だけをみると、難しいように感じてしまいます。また、この公式を覚えなければいけないのかと考えてしまいます。ただ、一次関数の変化の割合は傾きと意味が同じです。傾きを出せばいいため、公式を覚える必要はありません。

例えば、以下のグラフはどのような式になるでしょうか。

分数のある一次関数の書き方や式の導き出し方に悩む人は多いです。ただ一次関数の傾きが分数であったとしても、変化の割合を理解している場合は問題を解くことができます。

$y$軸に着目すれば、切片が分かります。そのため、上のグラフでは$b=2$です。次に傾きを出すため、変化の割合を計算しましょう。

グラフの座標を確認すると、以下の座標で明確な数字が分かります。

  • $(4,5)$
  • $(0,2)$
  • $(-4,-1)$

これらの座標を確認すると、$x$の値が4増えることで、$y$の値は3増えていることが分かります。以下のようになります。

そのため、変化の割合は$\displaystyle\frac{3}{4}$です。変化の割合を出す公式を覚える必要はなく、比例の条件を満たすように傾きを出せばいいです。

比例の式は$y=ax$です。$x$の値が4増えると$y$の値は3増えるため、公式に数を代入すると$4=3a$となります。これを計算すると$a=\displaystyle\frac{3}{4}$となり、傾きを出すことができます。つまり、グラフの一次関数は以下の式になります。

  • $y=\displaystyle\frac{3}{4}x+2$

または、一次関数の公式に当てはめても傾きを出すことができます。グラフより、$b=2$と既に分かっています。切片は分かっているため、グラフの式は$y=ax+2$です。ここに、$(4,5)$または$(-4,-1)$の座標を代入しましょう。

例えば$(-4,-1)$を代入する場合、以下のようになります。

$-1=-4a+2$

$4a=2+1$

$4a=3$

$a=\displaystyle\frac{3}{4}$

このように、一次関数の公式から傾きを出すことができます。変化の割合の公式を覚える必要はありません。多くの公式を覚えようと努力しても忘れます。そこで、最も重要な公式だけを覚えて、答えを出せるようにしましょう。

・一次関数の式からグラフを書く

グラフから式を出す方法について解説しました。一方でグラフを書くときはどのようにすればいいのでしょうか。

一次関数からグラフを書く方法についても、やり方は同じです。傾きが分数だったとしても、変化の割合からグラフを書くことができます。例えば、以下の式ではどのようにグラフを書けばいいでしょうか。

  • $y=-\displaystyle\frac{2}{3}x+2$

切片は2なので、$(0,2)$を通ります。また、$x$が3増えたら$y$は2減ります。つまり$x=3$のとき、$y=0$です。直線は$(3,0)$を通るため、以下のグラフを書くことができます。

一次関数は前述の通り、2つの座標を直線でつなぐことで完成します。傾きが分数であっても、グラフの書き方は同じです。

一次関数の式を切片と座標から求める

なお一次関数の問題では、グラフまたは座標から一次関数の式を出さなければいけないことがあります。どのようにすれば、一次関数の式を求めることができるのでしょうか。いくつか方法があり、最も簡単な方法としては切片と座標から一次方程式を求める方法があります。

問題文によっては、切片の値が既に分かっていることがあります。その場合、$b$の値を代入できます。

また座標が分かっているのであれば、$x$と$y$の値も分かっています。$x$を代入すると、$y$の値が明確に決まるのが一次関数です。どの$x$を代入したとしても、$y$の値を導き出すことができます。そのため座標を代入すると、傾きを出すことができます。

例えば、以下の場合の一次関数はどのような式になっているでしょうか。

  • 切片は1:$b=1$
  • 座標$(2,2)$を通る

切片が1なので、式は$y=ax+1$です。また座標$(2,2)$を通るため、$x=2$と$y=2$を代入しましょう。以下のようになります。

$2=2a+1$

$-2a=1-2$

$-2a=-1$

$a=\displaystyle\frac{1}{2}$

傾きは$a=\displaystyle\frac{1}{2}$です。そのため、一次方程式の式は$y=\displaystyle\frac{1}{2}x+1$です。

問題文から、切片は1と既に分かっています。それに対して、一次関数の傾きは分かりません。そこで座標を代入することで、このように傾きを出すことができます。

グラフから一次関数の式を求める

なお、グラフから一次関数の式を出さなければいけないこともあります。グラフを読み解く場合、グラフの切片と座標を確認します。例えば、以下のグラフの切片と座標はどのようになっているでしょうか。

$y$座標を確認すると、切片は1です。またグラフから、任意の座標を代入しましょう。どの座標を代入しても問題ありません。ただ数学では、計算ミスをなくすために簡単な座標を使う必要があります。そこで、今回は$(1,-1)$の座標を使います。

グラフより、切片は1なので一次関数の式は$y=ax+1$です。また、この一次関数は$(1,-1)$の座標を通ります。そこで、$x=1$と$y=-1$を代入しましょう。計算は以下になります。

$-1=a+1$

$-a=1+1$

$-a=2$

$a=-2$

傾きは-2なので、$y=-2x+1$の式になります。グラフから切片や座標を読み解く必要があったとしても、一次関数の式の出し方は同じです。

なおグラフを読み解く場合、変化の割合から$a$を計算しても問題ありません。先ほどのグラフであれば、以下のように$x$の値が1増えるごとに、$y$の値は-2増えています。そのため、変化の割合は-2と分かります。

変化の割合は傾きと同じです。そこで切片と傾きから、$y=-2x+1$の式になると分かります。

連立方程式で一次関数の式を計算する

一方でグラフを提示されず、切片も分からないケースがあります。分かっているのは2つの座標だけです。例えば、以下の2つの座標だけ分かっている場合です。

  • $(-6,-7)$
  • $(3,-1)$

この場合、どのようにすれば一次関数の式を出すことができるのでしょうか。これについて、連立方程式を利用することで一次関数の式を出すことができます。分からない数字が2つあったとしても、2つの式を作ることで、数字を求めることができるのが連立方程式です。

そこで、$(-6,-7)$と$(3,-1)$を$y=ax+b$に代入すると、以下のようになります。

$\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}-7=-6a+b\\-1=3a+b\end{array}\right.\end{eqnarray}$

これを連立方程式で解いてみましょう。以下のようになります。

$\begin{array}{r}-7=-6a+b\\\underline{-)\phantom{0}-1=3a+b}\\-6=-9a\\a=\displaystyle\frac{2}{3}\end{array}$

連立方程式によって、このように$a=\displaystyle\frac{2}{3}$と分かります。また$a=\displaystyle\frac{2}{3}$を代入して連立方程式を解くことで、$b=-3$と計算することができます。

例えば、$(3,-1)$を代入すると以下のようになります。

$-1=3×\displaystyle\frac{2}{3}+b$

$-1=2+b$

$b=-3$

そのため、$y=\displaystyle\frac{2}{3}x-3$です。グラフが提示されていなかったとしても、2つの座標が分かれば連立方程式によって一次関数を出すことができます。

一次関数を使う、座標の交点の求め方

なお、一次関数の応用問題として交点があります。2つの一次関数の交点を問われることがよくあるのです。交点はどのようにして出せばいいのでしょうか。

例えば、以下の2つの式の交点Pを求めてみましょう。

  • $y=-2x-2$
  • $y=x+2$

2つの式の条件を満たす値を出すのが連立方程式です。そこで、$y=-2x-2$と$y=x+2$の式を使って以下の連立方程式を解きましょう。そうすれば、交点を出すことができます。

$\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}y=-2x-2\\y=x+2\end{array}\right.\end{eqnarray}$

なぜ、連立方程式を使えば交点を出せるのでしょうか。連立方程式を使うというのは、「$y=-2x-2$かつ$y=x+2$を満たす$x$と$y$の値を出す」ことと意味が同じです。また2つの式を満たす$x$と$y$を計算するのは、交点を出すのと意味が同じです。

前述の通り、2つの分からない数字があったとしても、連立方程式を使えば数字を出すことができます。そこで連立方程式を解くと、以下のようになります。

$\begin{array}{r}y=-2x-2\\\underline{-)\phantom{0}\phantom{0}y=x+2}\\0=-3x-4\\3x=-4\\x=-\displaystyle\frac{4}{3}\end{array}$

次に、$x=-\displaystyle\frac{4}{3}$を代入しましょう。例えば$y=x+2$に代入すると、以下のようになります。

$y=-\displaystyle\frac{4}{3}+2$

$y=-\displaystyle\frac{4}{3}+\displaystyle\frac{6}{3}$

$y=\displaystyle\frac{2}{3}$

こうして、点Pの座標が$\left(-\displaystyle\frac{4}{3},\displaystyle\frac{2}{3}\right)$と分かります。

練習問題:一次関数のグラフと文章題

Q1. 次の問題を解きましょう

  1. (1)の一次関数の式を求めましょう
  2. (2)の一次関数の式を求めましょう
  3. (1)と(2)の交点を求めましょう

A1. 解答

(a)

グラフから一次方程式を求める必要があります。そこで、切片に着目しましょう。(1)の式では、切片は4です。そのため、$b=4$です。

また、(1)は$(1,2)$の座標を通っています。そこで、$y=ax+4$に代入しましょう。以下のようになります。

$2=a+4$

$a=-2$

傾きが-2と分かりました。そのため、(1)の式は$y=-2x+4$です。

(b)

グラフを見ても、(2)の切片は分かりません。そこで、2つの座標から(2)の式を計算しましょう。任意の(2)の座標を選びます。例えば、(2)は以下の座標を通ります。

  • $(2,3)$
  • $(5,4)$

そこで、連立方程式によって傾きと切片を計算しましょう。$y=ax+b$の公式に代入すると、以下のようになります。

$\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}3=2a+b\\4=5a+b\end{array}\right.\end{eqnarray}$

連立方程式を解くと、以下のようになります。

$\begin{array}{r}3=2a+b\\\underline{-)\phantom{0}4=5a+b}\\-1=–3a\\a=\displaystyle\frac{1}{3}\end{array}$

また$a=\displaystyle\frac{1}{3}$を$3=2a+b$に代入すると以下のようになります。

$3=2×\displaystyle\frac{1}{3}+b$

$\displaystyle\frac{9}{3}=\displaystyle\frac{2}{3}+b$

$b=\displaystyle\frac{7}{3}$

そのため、(2)の式は$y=\displaystyle\frac{1}{3}x+\displaystyle\frac{7}{3}$です。

(c)

2つの式の交点を出すためには、連立方程式を解きましょう。(1)と(2)の一次関数を出したので、この2つの式を使って以下の連立方程式を作ります。

$\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}y=-2x+4\\y=\displaystyle\frac{1}{3}x+\displaystyle\frac{7}{3}\end{array}\right.\end{eqnarray}$

代入法を利用すると、以下のようになります。

$-2x+4=\displaystyle\frac{1}{3}x+\displaystyle\frac{7}{3}$

$(-2x+4)\textcolor{red}{×3}=\left(\displaystyle\frac{1}{3}x+\displaystyle\frac{7}{3}\right)\textcolor{red}{×3}$

$-6x+12=x+7$

$-6x-x=7-12$

$-7x=-5$

$x=\displaystyle\frac{5}{7}$

次に、$y=-2x+4$に対して$x=\displaystyle\frac{5}{7}$を代入しましょう。以下のようになります。

$y=-2×\displaystyle\frac{5}{7}+4$

$y=-\displaystyle\frac{10}{7}+\displaystyle\frac{28}{7}$

$y=\displaystyle\frac{18}{7}$

こうして、(1)と(2)の交点は$\left(\displaystyle\frac{5}{7},\displaystyle\frac{18}{7}\right)$と計算できます。


Q2. 次の問題を解きましょう

AB=10cm、BC=6cm、∠ABC=90°の三角形があります。点PはAを出発し、毎秒1cmの速さでBを通り、Cに向かいます。点PがAを出発して$x$秒後、△APCの面積を$y$cm2とします。

  1. 8秒後の△APCの面積を計算しましょう
  2. $x$の変域と$y$の変域について、不等号を使って表しましょう
  3. 点PがBC上にあるとき、$x$と$y$の関係を式にしましょう

A2. 解答

(a)

8秒後では、APの長さは8cmです。つまり、三角形の横の長さは8cmです。一方でたての長さは6cmです。三角形の面積の公式は以下になります。

  • 三角形の面積 = たて × 横 × $\displaystyle\frac{1}{2}$

そのため、三角形の面積は以下のようになります。

  • $8×6×\displaystyle\frac{1}{2}=24$

答えは24cm2です。

(b)

ABとBCの長さの合計は16cmです。点Pは毎秒1cm進むため、16秒後にCに到着します。そのため、$x$の変域は以下になります。

  • $0≦x≦16$

一方で△APCの面積では、点PがBに到着したとき、面積が最大になります。点PがBC上を進むとき、△APCの面積は少なくなるからです。△ABCの面積は以下になります。

  • $10×6×\displaystyle\frac{1}{2}=30$

そのため、$y$の変域は以下になります。

  • $0≦y≦30$

(c)

点PがBC上にあるとき、横の長さは10cmで固定されています。一方で、たての長さが変わります。そこで、たての長さ(CPの長さ)を出すことができれば、△APCの面積を表す式を作ることができます。

それでは、どのようにしてCPの長さを考えればいいのでしょうか。三角形の状態で考えると難しいです。そこで、以下の直線にしてCPの長さを考えてみましょう。

ACの長さは16cmです。また毎秒1cmで進むため、$x$秒後のAPの長さは$x$cmです。つまり、CPの長さは$(16-x)$です。

横の長さは10cmであり、たての長さは$(16-x)$cmです。そのため、△APCの面積は以下になります。

$y=10×(16-x)×\displaystyle\frac{1}{2}$

$y=5×(16-x)$

$y=-5x+80$

一次関数の式を作り、解けるようにする

比例と非常に似た分野が一次関数です。中学数学で学ぶ一次関数とは、比例の特殊なケースだと考えるようにしましょう。

一次関数を利用して計算しなければいけない場面は非常に多いです。例えば将来の貯金額を計算するときは一次関数を利用します。計算するときは傾きと切片を求めて、式を作らなければいけません。

また一次関数では、グラフを用いた問題がたくさん出されます。そこでグラフから傾きや切片を計算できるようにしましょう。座標を利用することで一次関数の式を出せます。また連立方程式を利用することで、2つの直線の交点を出すこともできます。

これら一次関数の性質を理解すれば、文章題を解けるようになります。文章題を解ければ、数学を日常生活のあらゆる場面で活用できるようになります。