数学の計算では、数字ではなく文字を使うことが頻繁にあります。文字式(代数式)を利用することで、簡単に計算問題を解けるようになるのです。

代数式で最も重要な分野の一つが一次方程式です。日常生活の計算でも頻繁に利用されるのが一次方程式であり、数学の基本でもあります。分からない数字があったとしても、一次方程式によって答えを出すことができます。

方程式には性質があり、定義や概要を理解しなければいけません。また文章題を解けるようにすることで、一次方程式を作れるようになれば、日常生活での計算で一次方程式を利用できるようになります。

どのように考えて一次方程式を利用すればいいのでしょうか。一次方程式の性質や解き方を解説していきます。

方程式の意味と定義

まず、方程式とは何なのでしょうか。定義を理解しなければいけません。分からない数字が式に含まれている場合、アルファベットを利用した式を代数式といいます。文字を利用することで、式を作ることができます。

多項式の計算を学んでいる場合、文字を用いた式は既に理解しています。多項式では、$x$に数字を代入することで、さまざまな答えを出すことができます。例えば、$3x+1$に数字を代入すると、答えは以下のようになります。

一方で一次方程式では、数字を代入することで答えが正しかったり、答えが違っていたりします。

例えば、$3x+1=10$という式があるとき、答えはどのようになるでしょうか。$x$にさまざまな数字を当てはめてみると、以下のようになります。

  • $x=1、3×1+1=10$:間違い
  • $x=2、3×2+1=10$:間違い
  • $x=3、3×3+1=10$:正解

どのような数字を代入してもいいわけではありません。特定の数字のみ答えを導き出すことができます。方程式では等号($=$)が存在するため、式を満たす$x$は限られるのです。

方程式(等式)の等号がもつ5つの性質

方程式では必ず等号($=$)があります。イコールの意味であるため、2つが等しい場合は等号を使うことができます。なお方程式では、以下の言葉が存在します。

  • 左辺:左にある等式
  • 右辺:右にある等式
  • 両辺:左辺と右辺

一次方程式を表す等式には、このような言葉が存在します。

なお重要なのは、等号には5つの性質があることです。等号を含む式について、どのような性質があるのか理解することで、一次方程式の問題を解けるようになります。

方程式の性質を理解するには、てんびんを思い浮かべれば分かりやすいです。等式では、等号を使います。そのため左辺と右辺は等しくなければいけません。図にすると、以下のようになります。

このように左辺と右辺が等号によって等しくなっており、$A=B$となっている場合、以下の5つが成り立ちます。

  • 同じ数の足し算をしても、等式が成り立つ
  • 同じ数の引き算をしても、等式が成り立つ
  • 同じ数の掛け算をしても、等式が成り立つ
  • 同じ数の割り算をしても、等式が成り立つ
  • 両辺を交換しても、等式が成り立つ

それぞれについて確認していきます。

・$A=B$ならば、$A+C=B+C$となる

等式の場合、なぜ同じ数を両辺に足してもいいのでしょうか。これは、同じ数を足しても両辺が等しくなるからです。同じものを加えても、てんびんは以下のように等しくなります。

・$A=B$ならば、$A-C=B-C$となる

方程式では、両辺から同じ数を引いても成り立ちます。足し算だけでなく、引き算をしても問題ありません。

・$A=B$ならば、$A×C=B×C$となる

方程式では両辺の掛け算をしてもいいです。両辺は等しくなるからです。

・$A=B$ならば、$\displaystyle\frac{A}{C}=\displaystyle\frac{B}{C}$となる

両辺に同じ数の割り算をしても、等式が成り立ちます。なお代数式では、割り算を利用することはなく、すべての割り算を分数の掛け算に直します。そのため割り算ではなく、分数の掛け算で公式が表されます。

・$A=B$ならば、$B=A$となる

方程式が成り立っている場合、左辺と右辺を交換しても問題ありません。両辺は等しいため、交換したとしてもイコールとなります。

ここまで説明した等号の性質について、当たり前のように思う人がいるかもしれません。ただ、これはてんびんを例に考えるから理解できます。一方で「$A=B$ならば、$A-C=B-C$となる」などのように、公式だけ記されても理解できません。

一次方程式を学ぶとき、多くの人が理解できずに困るのが等式の性質です。そこで、これら等式の性質を図によって理解しましょう。

移項により、一次方程式の問題を解く

それでは、どのようにして一次方程式の問題を解けばいいのでしょうか。これには、先ほど説明した等号の性質を利用します。

両辺に対して、同じ数を足しても引いても等式が成り立ちます。例えば、$x+2=11$は以下の順番で計算することができます。

  1. $x+2=11$
  2. $x+2\textcolor{red}{-2}=11\textcolor{red}{-2}$
  3. $x=11\textcolor{red}{-2}$
  4. $x=9$

このように方程式では、両辺に同じ数の足し算または引き算をすることによって答えを出すことができます。

ただ数学では、素早く計算できるようにしなければいけません。実際、試験問題では制限時間があります。そこで、移項というテクニックを利用します。移項とは、符合を変えて左辺から右辺(または右辺から左辺)へ数字を移動させる方法を指します。

先ほどの計算であれば、以下のように(b)の式を省略できます。

移項することにより、計算の過程を省けるようになります。その結果、計算ミスも減ります。代数式の計算では、全員が移項を利用します。

また移項は数字だけでなく、文字でも有効です。以下のように、数字や文字を移項させることができます。

なお、両辺に対して同じ数の掛け算や割り算をしてもいいです。整数または分数を掛けることで、$x$の値を出します。例えば、以下のようになります。

$3x=10$

$3x×\textcolor{red}{\displaystyle\frac{1}{3}}=10×\textcolor{red}{\displaystyle\frac{1}{3}}$

$x=\displaystyle\frac{10}{3}$

分からない数字($x$)の答えを出すために一次方程式を利用します。そのため、最後は$x=□$の形にすることで答えを出すようにしましょう。

なお、掛け算と割り算(分数の掛け算)については、足し算や引き算と違って移項することはできません。両辺に対して掛け算をすることで、それぞれ計算する必要があります。

分配法則でかっこを外し、整数に直して計算する

なお、文字式(代数式)ではかっこを含む式がたくさん存在します。その場合、移項することはできません。そこで分配法則を利用し、先にかっこを外すようにしましょう。

例えば、$3(x-2)=14$はどのように計算すればいいのでしょうか。この場合、かっこを外しましょう。以下のように計算できます。

$3(x-2)=14$ : 分配法則

$3x-6=14$ : 移項させる

$3x=14\textcolor{red}{+6}$

$3x\textcolor{red}{×\displaystyle\frac{1}{3}}=20\textcolor{red}{×\displaystyle\frac{1}{3}}$ : 分数の掛け算をする

$x=\displaystyle\frac{20}{3}$

かっこを外すからこそ、移項によって足し算や引き算をすることができます。方程式を解くためには、分配法則を利用して最初にかっこを外しましょう。

・両辺の掛け算によって小数を整数に直す

また場合によっては、両辺に対して掛け算をすることで、計算を簡単にすることがあります。小数や分数が式に含まれる方程式では、両辺の掛け算をすることが頻繁にあるのです。

例えば、以下の式はどのように計算すればいいのでしょうか。

  • $0.04x-0.12=0.02x-0.2$

小数のまま計算してもいいですが、高確率で計算ミスが起こります。そこで整数に直すことで、式を簡単にしましょう。先ほどの式であれば、両辺に100を掛けます。

$0.04x-0.12=0.02x-0.2$

$(0.04x-0.12)\textcolor{red}{×100}=(0.02x-0.2)\textcolor{red}{×100}$

$4x-12=2x-20$

$4x\textcolor{red}{-2x}=-20\textcolor{red}{+12}$

$2x=-8$

$x=-4$

小数のまま計算するよりも、整数に直したほうが計算しやすくなります。

・分数の式を整数に直す

整数に直したほうが計算しやすくなるのは分数も同じです。例えば、以下はどのように計算すればいいのでしょうか。

$\displaystyle\frac{2}{3}x-\displaystyle\frac{1}{4}=\displaystyle\frac{3}{8}x$

小数と同じように、両辺の掛け算をすることで整数の式に直しましょう。例えば、以下のようになります。

$\displaystyle\frac{2}{3}x-\displaystyle\frac{1}{4}=\displaystyle\frac{3}{8}x$

$\left(\displaystyle\frac{2}{3}x-\displaystyle\frac{1}{4}\right)\textcolor{red}{×24}=\displaystyle\frac{3}{8}x\textcolor{red}{×24}$

$16x-6=9x$

$16x-9x=6$

$7x=6$

$x=\displaystyle\frac{6}{7}$

式を変換しない場合、計算が難しいことがよくあります。その場合、両辺に掛け算をしても等式が成り立つ性質を利用しましょう。両辺に数字をかけることで、整数の式に直すのです。

多項式の計算と方程式の違いを理解する

重要なのは、多項式の計算問題と方程式は性質が異なる事実です。多項式の計算問題では等号がありません。それに対して方程式では等号が存在し、左辺と右辺がイコールでつながれています。

両辺に掛け算をしても問題ないのは、方程式だからです。方程式には等号があるため、先ほど説明した5つの性質を利用できます。しかし、等号がない場合は利用できません。

例えば、以下の計算では前述の通り、両辺に100を掛けて計算できます。

  • $0.04x-0.12=0.02x-0.2$

等号があるため、両辺に同じ数の足し算や引き算、掛け算をすることができます。一方で以下の式では、100をかけてはいけません。

  • $0.04x-0.02x-0.12+0.2$

式の中に等号が含まれていない場合、その状態のまま計算しなければいけません。

一般的な多項式の計算では、一つの式だけ存在します。それに対して、方程式では等号が存在するため、左辺および右辺という2つの式が存在します。そのため、計算方法が異なります。この違いを理解して、計算ミスを防ぐようにしましょう。

一次方程式で文章問題を解くやり方のコツ

なお一次方程式を学ぶとき、重要なのは問題を解けることではありません。一次方程式をあなたが作り、答えを出せるようにすることが最も重要です。一次方程式は日常生活で頻繁に利用されるからです。

例えば、電気代や水道代の計算をするためには一次方程式を利用しなければいけません。またエアコンを節約することで、どれだけ電気代が安くなったのか計算したい場合、方程式を利用して計算できます。

また飛行機やバスに乗るとき、何時に家を出発すればいいのか知りたいときに方程式を利用して計算します。計算ミスをすると、あなたは飛行機やバスに乗り遅れて旅行することができません。

中学生や高校生であれば、これらの計算をすべて親がします。ただ、大人であればすべて自分で計算しなければいけません。一次方程式はあらゆる場面で利用されるのです。一次方程式の文章題を解けるようになると、大人として生活するときに困らなくなります。

・一次方程式の解き方

それでは、どのように一次方程式を作ればいいのでしょうか。文字式(代数式)では、アルファベットを利用して式の計算をします。代数式で頻繁に利用する$x$とは、「分からない数字」を指します。数学で分からない数字とは、あなたが求めたい数字ともいえます。

例えば何個のペンを買えばいいのか分からない場合、購入するペンの数を$x$にします。何km歩けばいいのか分からない場合、歩く距離を$x$kmにします。すべての方程式では、分からない数を$x$にしましょう。

その後、方程式を作って問題を解きます。すると、答えを出せるようになります。

同じものを2通りの方法で表し、式を作る

方程式を作るとき、やり方があります。それは、2つの式を作ることです。等号があることから分かる通り、意味が同じものを等号でくっつけるのです。

例えば以下の文章題では、どのように方程式を作ればいいのでしょうか。

  • 1個200円のペンを何個買えば、1200円になるでしょうか

小学校の算数など、代数式を学ぶ前であれば、$1200÷200=6$となり、答えは6本と分かります。これを代数式で表すようにしましょう。

分からない数を$x$にします。今回の問題では、ペンを何個買えばいいのか分かりません。そこで、購入するペンの数を$x$とします。

そうなると、1個200円のペンを$x$個買った結果、イコールとして1200円の支払いをすることになります。つまり、以下の式を作ることができます。

  • $200円×x個=1200円$

このように求めたいものを$x$にすることで、式を作ります。1個200円のペンを$x$個買ったときの金額と、支払ったお金の総額(1200円)はイコールでなければいけません。そこで2つの式を等号で結びつけることで、方程式を作ります。

非常に簡単な式を利用して説明しましたが、方程式の文章題では以下を意識しましょう。

  • 分からない数を$x$にする
  • 意味の同じ式を2つ作り、等号でつなぐ

この作業をすることで、方程式を作れるようになります。その後、方程式の問題を解くことで答えを導き出すだけです。

練習問題:一次方程式を使い、文章題を解く

Q1. 次の計算をしましょう

  1. $5(3x-3)+2=6x+3$
  2. $\displaystyle\frac{5x+2}{4}=\displaystyle\frac{-3x-3}{6}$
  3. $4-\displaystyle\frac{2x+3}{5}=0.4x$

A1. 解答

方程式では移項をして問題を解きます。ただ、かっこがある場合はかっこを外さなければいけません。また小数や分数がある場合、両辺に対して掛け算をすることで式を簡単にしましょう。

(a)

$5(3x-3)+2=6x+3$

$15x-15+2=6x+3$

$15x-6x=3+15-2$

$9x=16$

$x=\displaystyle\frac{16}{9}$

(b)

$\displaystyle\frac{5x+2}{4}=\displaystyle\frac{-3x-3}{6}$

$\displaystyle\frac{5x+2}{4}\textcolor{red}{×12}=\displaystyle\frac{-3x-3}{6}\textcolor{red}{×12}$

$3(5x+2)=2(-3x-3)$

$15x+6=-6x-6$

$15x+6x=-6-6$

$21x=-12$

$x=-\displaystyle\frac{12}{21}$

$x=-\displaystyle\frac{4}{7}$

(c)

小数と分数の両方が式に存在する場合、両方が整数になる数を両辺に掛けるようにしましょう。

$4-\displaystyle\frac{2x+3}{5}=0.4x$

$\left(4-\displaystyle\frac{2x+5}{5}\right)\textcolor{red}{×5}=0.4x\textcolor{red}{×5}$

$4×5-\displaystyle\frac{2x+3}{5}×5=0.4x×5$

$20-(2x+3)=2x$

$20-2x-3=2x$

$-2x-2x=-20+3$

$-4x=-17$

$x=\displaystyle\frac{17}{4}$


Q2. 次の問題を解きましょう

現在、父親の年齢は44歳であり、子供の年齢は14歳です。父親の年齢が子供の2倍になるのは何年後でしょうか。

A2. 解答

文章題では分からない数を$x$にします。この文章題では、何年後に父親の年齢が子供の年齢の2倍になるのか分かりません。そこで、経過年数を$x$にします。

$x$年が経過した後、父親の年齢は$44+x$歳です。それに対して、子供の年齢は$14+x$歳です。また$14+x$歳を2倍することで、父親の年齢と等しくなります。そのため、以下の式が成り立ちます。

  • $44+x=(14+x)×2$

そこで、この一次方程式を解くことで正解を出すことができます。

$44+x=2(14+x)$

$44+x=28+2x$

$x-2x=28-44$

$-x=-16$

$x=16$

・解答の見直し

なお一次方程式の文章題では、出した答えを利用することで正解かどうか確認できます。出した答えが本当に正解かどうか、見直しするのが問題を解くコツです。

今回の計算では$x=16$です。そこで、実際の数字を当てはめてみましょう。16年後では、父親の年齢は$44+16=60$歳です。それに対して、子供の年齢は$14+16=30$歳です。30を2倍すると60なので、$x=16$が正解だと自信をもつことができます。

方程式の文章題では、このように見直しをすることで計算ミスが起こっているかどうか確認することができます。


Q3. 次の問題を解きましょう

1個500円の商品を仕入れ、800円で売ることを考えています。ただ、仕入れた商品の10%は不良品であり、表面に傷があって見た目が悪いため、600円で売ります。利益14000円を得るためには、何個の商品を仕入れて売ればいいのでしょうか。

A3. 解答

この文章題では、何個の商品を仕入れて売ればいいのか分かりません。そこで、仕入れる商品の数を$x$にします。

重要なのは、正規品の数は$x$個ではないという事実です。傷のある不良品も混じっています。$x$個を仕入れるとき、不良品の数は$0.1x$個です。仕入れた商品から不良品の数を引く必要があるため、正規品の数は$(x-0.1x)$個です。

また正規品を売る場合、1個を売ると利益は$800-500=300$円です。一方で傷のある不良品を1個売ると、利益は$600-500=100$円です。これらをすべて販売した結果、利益が14000円です。そのため、以下の方程式になります。

$300x×0.9x+100×0.1x=14000$

$270x+10x=14000$

$280x=14000$

$x=\displaystyle\frac{14000}{280}$

$x=50$

・解答の見直し

同じように、文章題では答えを当てはめて必ず見直しをしましょう。50個の製品を仕入れた場合、不良品の数は$50×0.1=5$個です。一方で正規品の数は$50-5=45$個です。

既に記した通り、正規品を1つ売ると利益は300円です。不良品を1つ売ると、利益は100円です。そのため、以下の計算によって利益額を出せます。

  • $300×45+100×5$

この式を計算すると、14000円となります。そのため正しく方程式を作れており、答えを出せていると分かります。


Q4. 次の問題を解きましょう

14%の食塩水が200gあります。食塩を加えることで、20%の食塩水にしたいです。何gの食塩を加えればいいでしょうか。

A4. 解答

食塩の問題で重要なのは、食塩を加えることで食塩水のグラム数が増加する事実です。そのため食塩を加える問題では、食塩自体の重さも考慮して方程式を作らなければいけません。

この問題で分からない数は「何gの食塩を加えればいいのか」です。そこで、加える食塩の量を$x$gとします。

14%の食塩水200gには、$200×0.14=28$gの食塩が含まれています。ここに$x$gの食塩を加えることで、20%の食塩水にします。

一方で20%の食塩水には、何gの食塩が含まれているのでしょうか。200gの食塩水に対して、$x$gを加えるため、食塩を加えた後の重さは$(200+x)$gとなります。食塩水の濃度は20%なので、$(200+x)×0.2$の式によって、20%食塩水に含まれる食塩量を計算できます。

その結果、2つの異なる式を作ることができます。両方の式とも、20%の食塩水に含まれる食塩の量を示しています。

この方程式を解くと、以下のようになります。

$200×0.14+x=(200+x)×0.2$

$28+x=40+0.2x$

$x-0.2x=40-28$

$0.8x=12$

$0.8x×\displaystyle\frac{5}{4}=12×\displaystyle\frac{5}{4}$

$x=15$

・解答の見直し

方程式で答えを出した後、見直しをしましょう。やり方としては、先ほどとは異なる方程式を作ります。14%の食塩水200gには、$200×0.14=28$gの食塩が含まれています。そのため15gの食塩を加えると、$28+15=43$gの食塩量になります。

20%の濃度の食塩水に43gの食塩が含まれている場合、全体の食塩水は何gでしょうか。食塩水の重さを$y$gとすると、以下の方程式を作れます。

  • $y×0.2=43$

この方程式を解くと、以下のようになります。

$y×0.2=43$

$y×0.2\textcolor{red}{×5}=43\textcolor{red}{×5}$

$y=215$

14%の食塩水は200gであり、これに15gの食塩を加えると215gになります。$y=215$と数字が合います。そのため、正しく方程式を作って計算できることを確認できます。

一次方程式で問題を解けるのは重要

なぜ、数学で代数式を学ぶ必要があるのかというと、それは方程式を作れるようになるためです。一次方程式は日常生活のあらゆる場面で利用されます。そのため一次方程式を理解していないと、大人として生活するときに計算できず、正しい数字を出せないために困ることが多くなります。

一次方程式では、等号の性質を理解するようにしましょう。等号には5つの性質があり、数学の計算ではすべての人がこの性質を利用して答えを出します。

また一次方程式で重要なのは、文章題を解けるようになることです。文章題を解けるからこそ、私たちの日常生活に数学を応用させることができるのです。分からない数字を$x$にして、2つの式を作るようにしましょう。

なお、一次方程式の文章題はここまで説明した通り、見直しをすることができます。見直しによって計算ミスに気付くことができるため、答えが正しいかどうか見直しするくせを付けましょう。これら方程式を解くときの注意点やコツを理解すると、数学での計算ミスが減ります。